Mengapa Pertanyaan “Tepat pada Detik ke-3” Membawa Kita ke Turunan

Kalimat yang disorot berbunyi:

“Jika kita bertanya: ‘Seberapa cepat posisi benda berubah tepat pada detik ke-3?’ maka kita sedang bertanya tentang turunan.”

Inti kalimat ini adalah perbedaan antara perubahan selama suatu selang waktu dan perubahan pada satu saat tertentu. Dalam bahasa sehari-hari, kita sering bertanya “seberapa cepat?” Tetapi dalam matematika, pertanyaan itu harus dibuat lebih hati-hati. Cepat selama satu jam? Selama satu detik? Atau benar-benar pada satu saat tertentu, misalnya tepat ketika waktu menunjukkan 3 detik?

Di sinilah turunan masuk.

Dari posisi menuju kecepatan

Misalkan posisi benda dinyatakan oleh fungsi

\[ s(t)=t^2. \]

Di sini, \(t\) adalah waktu dalam detik, dan \(s(t)\) adalah posisi benda pada waktu \(t\). Jika satuan posisi adalah meter, maka \(s(t)\) diukur dalam meter.

Beberapa nilai fungsi ini mudah dihitung:

\[ s(0)=0^2=0, \]

\[ s(2)=2^2=4, \]

\[ s(3)=3^2=9. \]

Jadi pada detik ke-3, posisi benda adalah 9. Tetapi pertanyaan pada bagian yang disorot bukan “di mana posisi benda pada detik ke-3?” Pertanyaannya adalah:

\[ \text{Seberapa cepat posisi itu sedang berubah pada detik ke-3?} \]

Pertanyaan ini bukan lagi tentang nilai fungsi saja. Ia bertanya tentang laju perubahan fungsi.

Dalam konteks gerak satu dimensi, laju perubahan posisi terhadap waktu disebut kecepatan. Jika posisi berubah banyak dalam waktu singkat, kecepatannya besar. Jika posisi berubah sedikit, kecepatannya kecil. Jika posisi tidak berubah, kecepatannya nol. Jika posisi bergerak ke arah sebaliknya, kecepatannya bisa bernilai negatif.

Kecepatan rata-rata: langkah pertama

Sebelum memahami kecepatan tepat pada satu saat, kita mulai dari kecepatan rata-rata. Misalkan kita melihat gerak benda dari waktu \(t=3\) sampai \(t=4\). Posisi pada \(t=3\) adalah

\[ s(3)=9, \]

sedangkan posisi pada \(t=4\) adalah

\[ s(4)=16. \]

Perubahan posisinya adalah

\[ s(4)-s(3)=16-9=7. \]

Perubahan waktunya adalah

\[ 4-3=1. \]

Maka kecepatan rata-rata dari detik ke-3 sampai detik ke-4 adalah

\[ \frac{s(4)-s(3)}{4-3} = \frac{7}{1} = 7. \]

Jika posisi diukur dalam meter dan waktu dalam detik, satuannya adalah meter per detik.

Tetapi nilai 7 ini masih kecepatan rata-rata selama satu detik penuh, bukan kecepatan tepat pada detik ke-3. Benda mungkin lebih lambat di awal selang itu dan lebih cepat di akhir selang itu. Jadi kita perlu memperkecil selang waktunya.

Misalnya kita lihat dari \(t=3\) sampai \(t=3{,}1\). Maka

\[ s(3{,}1)=(3{,}1)^2=9{,}61. \]

Kecepatan rata-ratanya adalah

\[ \frac{s(3{,}1)-s(3)}{3{,}1-3} = \frac{9{,}61-9}{0{,}1} = \frac{0{,}61}{0{,}1} = 6{,}1. \]

Jika kita lihat dari \(t=3\) sampai \(t=3{,}01\), maka

\[ s(3{,}01)=(3{,}01)^2=9{,}0601, \]

sehingga

\[ \frac{s(3{,}01)-s(3)}{3{,}01-3} = \frac{9{,}0601-9}{0{,}01} = 6{,}01. \]

Nilai-nilai ini tampak mendekati 6. Semakin kecil selang waktunya, semakin dekat kecepatan rata-ratanya ke 6. Inilah intuisi dasar turunan: kecepatan sesaat diperoleh sebagai batas dari kecepatan rata-rata ketika selang waktu dibuat makin kecil.

Turunan sebagai laju perubahan sesaat

Secara umum, jika posisi benda adalah \(s(t)\), maka laju perubahan rata-rata dari waktu \(t=a\) sampai \(t=a+h\) adalah

\[ \frac{s(a+h)-s(a)}{h}. \]

Bagian \(s(a+h)-s(a)\) menyatakan perubahan posisi. Bagian \(h\) menyatakan perubahan waktu. Jadi pecahan itu berarti:

\[ \frac{\text{perubahan posisi}}{\text{perubahan waktu}}. \]

Untuk mencari laju perubahan tepat pada waktu \(a\), kita membayangkan \(h\) makin mendekati 0. Jika nilai pecahan itu mendekati satu nilai tertentu, nilai itu disebut turunan \(s\) di \(a\), ditulis

\[ s'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}. \]

Simbol \(\lim_{h\to 0}\) berarti kita memperhatikan apa yang terjadi ketika \(h\) semakin dekat ke 0, bukan ketika \(h\) sama dengan 0. Ini penting, karena jika \(h=0\), pecahannya menjadi

\[ \frac{s(a)-s(a)}{0}=\frac{0}{0}, \]

yang tidak terdefinisi. Turunan tidak diperoleh dengan membagi oleh nol. Turunan diperoleh dengan melihat kecenderungan nilai pecahan ketika penyebutnya mendekati nol tetapi belum nol.

Definisi seperti ini adalah definisi standar dalam kalkulus satu variabel [Apostol 1967; Stewart 2016].

Menghitung turunan \(s(t)=t^2\) pada detik ke-3

Sekarang kita terapkan definisi itu pada fungsi

\[ s(t)=t^2. \]

Kita ingin mengetahui laju perubahan tepat pada \(t=3\). Maka

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{s(3+h)-s(3)}{h}. \]

Karena \(s(t)=t^2\), maka

\[ s(3+h)=(3+h)^2, \]

dan

\[ s(3)=3^2=9. \]

Jadi

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2-9}{h}. \]

Sekarang buka kuadratnya:

\[ (3+h)^2=9+6h+h^2. \]

Maka

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^2-9}{h}. \]

Suku \(9\) dan \(-9\) saling menghapus:

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{6h+h^2}{h}. \]

Faktorkan \(h\):

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{h(6+h)}{h}. \]

Untuk \(h\neq 0\), kita boleh menyederhanakan:

\[ \frac{h(6+h)}{h}=6+h. \]

Maka

\[ s'(3)=\lim_{h\to 0}(6+h)=6. \]

Jadi, untuk fungsi posisi \(s(t)=t^2\), laju perubahan posisi tepat pada detik ke-3 adalah

\[ 6. \]

Jika \(s(t)\) diukur dalam meter dan \(t\) dalam detik, maka satuannya adalah

\[ 6 \text{ meter per detik}. \]

Dengan kata lain, pada saat \(t=3\), kecepatan sesaat benda adalah 6 meter per detik.

Apa yang benar-benar dikatakan oleh kalimat itu?

Kalimat dalam dokumen induk mengatakan bahwa ketika kita bertanya tentang seberapa cepat posisi berubah tepat pada detik ke-3, kita sedang bertanya tentang turunan. Ini tepat, dengan satu catatan penting: kita menganggap posisi benda dimodelkan oleh suatu fungsi yang cukup halus di sekitar \(t=3\), sehingga turunan di titik itu memang ada.

Untuk fungsi contoh

\[ s(t)=t^2, \]

asumsi itu terpenuhi. Fungsi kuadrat halus dan memiliki turunan di setiap nilai \(t\). Karena itu, pertanyaan tentang kecepatan sesaat pada \(t=3\) dapat dijawab dengan menghitung turunan \(s'(3)\).

Namun secara umum, tidak semua fungsi memiliki turunan di semua titik. Misalnya fungsi nilai mutlak

\[ f(x)=|x| \]

memiliki sudut tajam di \(x=0\). Di titik itu, kemiringan dari kiri dan dari kanan tidak sama, sehingga turunannya di \(x=0\) tidak ada. Jadi pernyataan “bertanya tentang laju perubahan sesaat berarti bertanya tentang turunan” adalah benar sebagai ide kalkulus, tetapi jawaban numeriknya hanya ada jika turunan fungsi tersebut memang ada di titik yang ditanyakan.

Makna geometris: kemiringan garis singgung

Selain makna sebagai kecepatan sesaat, turunan juga dapat dilihat dari grafik. Grafik \(s(t)=t^2\) adalah parabola. Jika kita mengambil dua titik pada grafik, misalnya \(t=3\) dan \(t=4\), garis yang menghubungkan keduanya memiliki kemiringan kecepatan rata-rata:

\[ \frac{s(4)-s(3)}{4-3}=7. \]

Jika titik kedua digeser makin dekat ke \(t=3\), garis penghubung itu makin mendekati sebuah garis yang hanya “menyentuh” grafik di sekitar \(t=3\). Garis ini disebut garis singgung. Kemiringan garis singgung itulah turunan.

Untuk \(s(t)=t^2\), kemiringan garis singgung pada \(t=3\) adalah 6. Jadi angka yang sama dapat dipahami dalam dua cara: sebagai kecepatan sesaat dalam konteks gerak, dan sebagai kemiringan garis singgung dalam konteks grafik.

Dua cara pandang ini sangat penting dalam kalkulus. Turunan bukan sekadar rumus. Ia menghubungkan cerita gerak, tabel perubahan, grafik, dan perhitungan aljabar.

Mengapa kata “tepat” sangat penting?

Kata “tepat” dalam kalimat “tepat pada detik ke-3” adalah kunci. Jika pertanyaannya adalah “seberapa cepat dari detik ke-3 sampai detik ke-4?”, kita cukup memakai laju perubahan rata-rata. Tetapi jika pertanyaannya adalah “seberapa cepat tepat pada detik ke-3?”, kita perlu gagasan limit.

Itulah alasan turunan muncul setelah limit dalam pembelajaran kalkulus. Turunan membutuhkan ide “mendekati”: kita mendekati satu saat tertentu dengan selang waktu yang makin kecil, lalu melihat apakah laju perubahan rata-ratanya mendekati satu nilai tertentu.

Jadi kalimat yang disorot sedang memperkenalkan salah satu ide pusat kalkulus: turunan adalah alat matematika untuk mengukur laju perubahan sesaat. Dalam contoh posisi benda, turunan menjawab pertanyaan tentang kecepatan pada satu waktu tertentu. Dalam contoh lain, turunan bisa mengukur laju pertumbuhan populasi, laju perubahan biaya, kemiringan grafik, sensitivitas model, atau perubahan suhu terhadap waktu.

References

Apostol, Tom M. Calculus, Volume 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. 2nd ed. Wiley, 1967.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.