Pendahuluan

Kalkulus satu variabel mempelajari perubahan ketika hanya ada satu masukan utama. Misalnya, jika posisi sebuah benda di garis lurus dinyatakan oleh fungsi \(s(t)\), maka turunan \(s'(t)\) memberi laju perubahan posisi terhadap waktu. Integral, sebaliknya, mengumpulkan perubahan kecil menjadi besaran total: jarak, luas, massa, atau akumulasi lainnya.

Namun banyak keadaan alami, teknis, dan geometris tidak hanya bergantung pada satu masukan. Suhu di atas permukaan meja bergantung pada dua koordinat posisi, misalnya \(T(x,y)\). Tekanan udara dalam ruang bergantung pada tiga koordinat posisi, misalnya \(P(x,y,z)\). Biaya produksi dapat bergantung pada jumlah beberapa bahan baku, jumlah pekerja, dan waktu. Permukaan bukit dapat dimodelkan dengan ketinggian \(z=f(x,y)\), sehingga satu nilai keluaran ditentukan oleh dua masukan posisi. Inilah wilayah utama kalkulus multivariabel: kalkulus untuk fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel masukan, atau fungsi yang keluaran dan masukannya dapat berupa vektor. Pembahasan seperti ini merupakan kelanjutan alami dari kalkulus satu variabel dan menjadi dasar bagi kalkulus vektor, optimisasi, geometri diferensial dasar, serta banyak model dalam sains dan rekayasa, sebagaimana dibahas dalam buku-buku kalkulus multivariabel standar seperti Stewart, Marsden dan Tromba, serta Apostol (Stewart, 2016; Marsden & Tromba, 2012; Apostol, 1969).

Tujuan buku ini bukan sekadar membuat Anda dapat menghitung turunan parsial atau integral lipat. Tujuan yang lebih penting adalah membuat Anda dapat membaca situasi multivariabel: mengenali apa objeknya, apa variabelnya, bagaimana geometri di balik persamaannya, dan teknik apa yang paling sesuai untuk menyelesaikan masalah.

Dari garis bilangan ke ruang berdimensi lebih tinggi

Dalam kalkulus satu variabel, masukan fungsi biasanya berupa bilangan real. Himpunan semua bilangan real ditulis

\[ \mathbb{R}. \]

Bilangan real dapat dibayangkan sebagai titik pada garis bilangan. Ketika kita bekerja dengan dua bilangan sekaligus, misalnya \((x,y)\), kita berada di bidang koordinat. Himpunan semua pasangan bilangan real ditulis

\[ \mathbb{R}^2=\{(x,y):x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}. \]

Ketika kita bekerja dengan tiga bilangan sekaligus, misalnya \((x,y,z)\), kita berada di ruang tiga dimensi. Himpunan semua tripel bilangan real ditulis

\[ \mathbb{R}^3=\{(x,y,z):x,y,z\in\mathbb{R}\}. \]

Secara umum, \(\mathbb{R}^n\) adalah himpunan semua daftar terurut berisi \(n\) bilangan real. Istilah “terurut” penting: \((2,5)\) tidak sama dengan \((5,2)\), karena koordinat pertama dan koordinat kedua memiliki peran yang berbeda.

Contoh sederhana: titik \((3,4)\) di \(\mathbb{R}^2\) dapat berarti posisi 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari titik asal. Titik \((3,4,2)\) di \(\mathbb{R}^3\) dapat berarti posisi 3 satuan dalam arah \(x\), 4 satuan dalam arah \(y\), dan 2 satuan dalam arah \(z\).

Perubahan dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}^2\) dan \(\mathbb{R}^3\) membawa konsekuensi besar. Di garis bilangan, untuk mendekati sebuah titik, kita hanya datang dari kiri atau dari kanan. Di bidang, kita dapat mendekati titik dari tak hingga banyak arah dan lintasan. Di ruang, kemungkinan itu lebih kaya lagi. Karena itu, konsep seperti limit, turunan, dan integral harus dibangun lebih hati-hati dalam kalkulus multivariabel.

Objek dasar: titik, vektor, dan perpindahan

Sebelum membahas fungsi multivariabel, kita perlu membedakan dua gagasan yang sering terlihat mirip: titik dan vektor.

Sebuah titik menyatakan lokasi. Misalnya,

\[ A=(1,2) \]

menyatakan sebuah posisi di bidang.

Sebuah vektor menyatakan perpindahan, yaitu perubahan dari satu posisi ke posisi lain. Jika titik

\[ A=(1,2), \qquad B=(5,3), \]

maka perpindahan dari \(A\) ke \(B\) adalah

\[ B-A=(5-1,3-2)=(4,1). \]

Vektor \((4,1)\) dapat dibaca sebagai “bergerak 4 satuan ke arah \(x\) positif dan 1 satuan ke arah \(y\) positif.” Vektor ini tidak harus melekat pada satu lokasi tertentu. Perpindahan \((4,1)\) yang dimulai dari \((1,2)\) berakhir di \((5,3)\), sedangkan perpindahan yang sama dimulai dari \((0,0)\) berakhir di \((4,1)\).

Perbedaan ini akan terus muncul. Dalam geometri analitik, kita bertanya “di mana titiknya?” Dalam kalkulus vektor, kita sering bertanya “ke arah mana perpindahannya?” atau “berapa besar dan ke mana medan vektor mendorong sesuatu?”

Segmen garis sebagai jembatan pertama

Salah satu objek paling sederhana tetapi sangat penting dalam buku ini adalah segmen garis. Jika \(A\) dan \(B\) adalah dua titik, maka segmen garis dari \(A\) ke \(B\) adalah bagian garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut, termasuk ujung-ujungnya.

Misalnya, ambil

\[ A=(1,2), \qquad B=(5,3). \]

Kita ingin menuliskan semua titik di antara \(A\) dan \(B\). Cara yang sangat berguna adalah memakai parameter. Parameter adalah variabel bantu yang digunakan untuk menelusuri suatu objek. Untuk segmen garis dari \(A\) ke \(B\), kita gunakan

\[ \mathbf{r}(t)=A+t(B-A), \qquad 0\le t\le 1. \]

Di sini \(\mathbf{r}(t)\) adalah posisi pada segmen garis saat parameter bernilai \(t\). Jika \(t=0\), maka

\[ \mathbf{r}(0)=A+0(B-A)=A. \]

Jika \(t=1\), maka

\[ \mathbf{r}(1)=A+1(B-A)=B. \]

Jika \(t=\frac12\), maka

\[ \mathbf{r}\left(\frac12\right)=A+\frac12(B-A), \]

yaitu titik tengah antara \(A\) dan \(B\).

Untuk contoh \(A=(1,2)\) dan \(B=(5,3)\), kita punya

\[ B-A=(4,1), \]

sehingga

\[ \mathbf{r}(t)=(1,2)+t(4,1)=(1+4t,2+t), \qquad 0\le t\le 1. \]

Beberapa nilai parameter memberi titik-titik berikut:

\[ \mathbf{r}(0)=(1,2), \]

\[ \mathbf{r}\left(\frac14\right)=(2,2.25), \]

\[ \mathbf{r}\left(\frac12\right)=(3,2.5), \]

\[ \mathbf{r}(1)=(5,3). \]

Rumus ini akan muncul berkali-kali. Segmen garis adalah contoh paling dasar dari kurva parameterik, yaitu kurva yang ditelusuri oleh fungsi posisi bergantung parameter. Kelak, ketika membahas integral garis, medan vektor, Teorema Green, dan Teorema Stokes, lintasan yang lebih rumit sering dipahami dengan prinsip yang sama: sebuah parameter bergerak, dan posisi berubah mengikuti rumus tertentu. Parameterisasi garis dan kurva merupakan bahasa pokok dalam kalkulus vektor modern (Marsden & Tromba, 2012).

Fungsi multivariabel: satu keluaran, banyak masukan

Sebuah fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap masukan yang diperbolehkan dengan tepat satu keluaran. Pada kalkulus satu variabel, contoh fungsi adalah

\[ f(x)=x^2. \]

Masukannya satu bilangan, keluarannya satu bilangan.

Pada kalkulus multivariabel, contoh fungsi dua variabel adalah

\[ f(x,y)=x^2+y^2. \]

Masukannya pasangan bilangan \((x,y)\), keluarannya satu bilangan. Jika \((x,y)=(3,4)\), maka

\[ f(3,4)=3^2+4^2=25. \]

Secara geometris, fungsi \(f(x,y)=x^2+y^2\) dapat dibaca dengan beberapa cara. Sebagai nilai numerik, ia memberi jumlah kuadrat dua koordinat. Sebagai geometri bidang, persamaan

\[ x^2+y^2=c \]

membentuk lingkaran berjari-jari \(\sqrt{c}\) untuk \(c>0\). Sebagai permukaan di ruang, grafik

\[ z=x^2+y^2 \]

membentuk paraboloid eliptik yang terbuka ke atas. Satu rumus dapat memiliki beberapa wajah: numerik, aljabar, dan geometris. Kebiasaan melihat ketiganya akan sangat membantu sepanjang buku ini.

Ada juga fungsi yang keluarannya berupa vektor. Misalnya,

\[ \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t) \]

memasangkan setiap nilai \(t\) dengan sebuah titik di bidang. Saat \(t\) berubah, titik tersebut menelusuri lingkaran satuan. Fungsi seperti ini penting untuk memodelkan gerak dan kurva.

Turunan parsial: perubahan satu arah pada satu waktu

Dalam fungsi satu variabel \(f(x)\), turunan mengukur bagaimana \(f\) berubah ketika \(x\) berubah sedikit. Dalam fungsi dua variabel \(f(x,y)\), ada lebih dari satu cara untuk berubah. Kita dapat mengubah \(x\) sambil menahan \(y\) tetap, atau mengubah \(y\) sambil menahan \(x\) tetap, atau bergerak dalam arah miring tertentu.

Turunan parsial adalah turunan terhadap satu variabel ketika variabel lain dianggap tetap. Misalnya,

\[ f(x,y)=x^2y+3y. \]

Turunan parsial terhadap \(x\) adalah

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy, \]

karena \(y\) diperlakukan sebagai konstanta ketika menurunkan terhadap \(x\). Turunan parsial terhadap \(y\) adalah

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3, \]

karena \(x\) diperlakukan sebagai konstanta ketika menurunkan terhadap \(y\).

Contoh konkret: jika \(f(x,y)\) menyatakan suhu pada titik \((x,y)\) di sebuah pelat logam, maka \(\frac{\partial f}{\partial x}\) mengukur laju perubahan suhu ketika bergerak dalam arah \(x\) dengan \(y\) tetap. Sementara itu, \(\frac{\partial f}{\partial y}\) mengukur laju perubahan suhu ketika bergerak dalam arah \(y\) dengan \(x\) tetap.

Turunan parsial adalah awal, bukan akhir. Untuk memahami perubahan ke sembarang arah, kita akan mempelajari gradien dan turunan berarah. Gradien mengemas turunan parsial menjadi sebuah vektor yang menunjuk arah kenaikan tercepat fungsi skalar, sebuah fakta standar dalam kalkulus multivariabel yang mengikuti hubungan antara turunan berarah dan hasil kali titik (Stewart, 2016; Marsden & Tromba, 2012).

Integral lipat: mengumpulkan besaran di daerah dua atau tiga dimensi

Integral satu variabel dapat dipahami sebagai akumulasi di sepanjang interval. Misalnya,

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

mengumpulkan nilai \(f(x)\) dari \(x=a\) sampai \(x=b\).

Dalam kalkulus multivariabel, kita sering mengumpulkan nilai fungsi di atas daerah bidang atau ruang. Integral lipat dua ditulis, misalnya,

\[ \iint_D f(x,y)\,dA, \]

dengan \(D\) adalah daerah di bidang dan \(dA\) melambangkan unsur luas kecil. Jika \(f(x,y)\) adalah kerapatan massa permukaan, maka integral tersebut memberi massa total pada daerah \(D\). Jika \(f(x,y)\ge 0\), integral tersebut juga dapat ditafsirkan sebagai volume di bawah permukaan \(z=f(x,y)\) dan di atas daerah \(D\). Tafsir luas, volume, dan massa melalui integral lipat merupakan bagian standar dari konstruksi integral Riemann multivariabel (Apostol, 1969; Stewart, 2016).

Sebagai contoh sederhana, jika \(D\) adalah persegi

\[ 0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 3, \]

dan \(f(x,y)=5\), maka

\[ \iint_D 5\,dA \]

adalah 5 dikali luas persegi tersebut. Luasnya \(2\cdot 3=6\), sehingga hasil integralnya adalah

\[ 30. \]

Jika \(f\) menyatakan kerapatan massa \(5\) satuan massa per satuan luas, maka massa totalnya \(30\). Jika \(f\) menyatakan tinggi konstan \(5\), maka volumenya \(30\).

Teorema integral vektor: hubungan antara batas dan isi

Bagian akhir buku ini membahas beberapa teorema besar dalam kalkulus vektor, seperti Teorema Green, Teorema Divergensi, dan Teorema Stokes. Ketiganya memiliki tema yang sama: hubungan antara perilaku di dalam suatu daerah dan perilaku pada batas daerah tersebut.

Gagasan ini sudah dikenal dari kalkulus satu variabel melalui Teorema Dasar Kalkulus. Salah satu bentuknya menyatakan bahwa jika \(F'(x)=f(x)\), maka

\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]

Integral di sepanjang interval \([a,b]\) dapat dihitung dari nilai fungsi antiturunan di batas interval, yaitu titik \(a\) dan \(b\).

Dalam kalkulus vektor, pola ini muncul dalam bentuk yang lebih kaya. Teorema Green menghubungkan integral garis di sepanjang batas daerah bidang dengan integral lipat dua di daerah tersebut. Teorema Divergensi menghubungkan fluks melalui permukaan tertutup dengan integral volume di dalamnya. Teorema Stokes menghubungkan sirkulasi di sepanjang kurva batas dengan rotasi pada permukaan. Ketiga teorema ini merupakan pilar kalkulus vektor dan biasanya dipelajari setelah pembaca memahami vektor, kurva parameterik, integral garis, permukaan parameterik, dan integral permukaan (Marsden & Tromba, 2012; Stewart, 2016).

Contoh gagasan batas-dan-isi dapat dibayangkan seperti ini. Jika sebuah medan vektor menggambarkan aliran fluida, maka fluks melalui permukaan tertutup mengukur seberapa banyak fluida keluar dari permukaan itu. Teorema Divergensi menyatakan bahwa jumlah keluar bersih tersebut berkaitan dengan total “sumber” atau “serapan” di dalam volume. Buku ini tidak akan langsung memulai dari teorema itu. Kita akan membangun bahasa dan alatnya secara bertahap.

Cara berpikir yang akan dilatih

Ada tiga cara membaca hampir setiap objek dalam buku ini.

Pertama, cara numerik. Kita dapat memasukkan angka dan menghitung. Misalnya, untuk

\[ f(x,y)=x^2+y^2, \]

kita menghitung

\[ f(1,2)=5. \]

Kedua, cara aljabar. Kita memanipulasi simbol dan persamaan. Misalnya, persamaan

\[ x^2+y^2=9 \]

dapat dikenali sebagai lingkaran berjari-jari 3 dan berpusat di titik asal.

Ketiga, cara geometris. Kita membayangkan bentuk dan hubungan ruang. Fungsi \(z=x^2+y^2\) bukan hanya rumus, tetapi juga permukaan berbentuk mangkuk. Gradien bukan hanya daftar turunan parsial, tetapi juga vektor arah kenaikan tercepat. Integral lipat bukan hanya prosedur menghitung, tetapi juga akumulasi di atas daerah.

Mahasiswa tahun pertama sering tergoda untuk mencari “rumus yang cocok” sesegera mungkin. Itu wajar, tetapi dalam kalkulus multivariabel strategi yang lebih kuat adalah bertanya:

• Objek ini berada di \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\), atau \(\mathbb{R}^n\)?
• Apakah yang diberikan titik, vektor, kurva, bidang, permukaan, fungsi skalar, atau medan vektor?
• Apakah masalahnya tentang perubahan, akumulasi, optimisasi, atau hubungan batas-dan-isi?
• Apakah koordinat Kartesius cukup sederhana, atau perlu koordinat polar, silinder, bola, atau perubahan variabel lain?
• Apakah lintasan atau permukaan perlu diparameterkan?

Pertanyaan-pertanyaan ini akan muncul berulang-ulang. Dengan latihan, Anda akan melihat bahwa banyak soal yang tampak berbeda sebenarnya memiliki struktur yang sama.

Peta perjalanan buku

Bab 1 membangun fondasi ruang berdimensi dua dan tiga: titik, koordinat, jarak, lingkaran, bola, dan cara membaca objek geometri sebagai himpunan titik.

Bab 2 memperkenalkan vektor, norma, arah, hasil kali titik, proyeksi, dan segmen garis. Rumus

\[ \mathbf{r}(t)=A+t(B-A),\qquad 0\le t\le 1, \]

akan menjadi salah satu rumus dasar yang terus digunakan.

Bab 3 membahas garis dan bidang di ruang tiga dimensi, termasuk hasil kali silang, vektor normal, luas jajargenjang, dan jarak titik ke garis atau bidang.

Bab 4 sampai Bab 8 membawa kita ke fungsi beberapa variabel, domain, limit, kekontinuan, turunan parsial, diferensiabilitas, gradien, dan turunan berarah. Di sini kita mulai memahami perubahan dalam banyak arah.

Bab 9 sampai Bab 11 membahas aturan rantai dan optimisasi. Kita akan belajar bagaimana fungsi berubah ketika variabelnya sendiri bergantung pada variabel lain, serta bagaimana mencari maksimum dan minimum dengan atau tanpa kendala.

Bab 12 sampai Bab 15 membahas integral lipat dua, integral lipat tiga, koordinat polar, koordinat silinder, koordinat bola, dan perubahan variabel umum melalui Jacobian. Di sini fokusnya adalah akumulasi di daerah dua dan tiga dimensi.

Bab 16 sampai Bab 20 memasuki kalkulus vektor: integral garis, medan vektor konservatif, Teorema Green, integral permukaan, Teorema Divergensi, dan Teorema Stokes.

Bab 21 menyatukan strategi. Pada tahap itu, pertanyaan utamanya bukan lagi “rumus mana yang harus dipakai?”, melainkan “struktur matematika apa yang sedang saya lihat?”

Bekal awal yang diharapkan

Buku ini mengasumsikan Anda sudah mengenal aljabar dasar, trigonometri dasar, fungsi satu variabel, turunan, integral, dan koordinat Kartesius. Namun gagasan multivariabel akan dibangun perlahan dari awal. Jika suatu definisi tampak sederhana, jangan dilewati terlalu cepat. Dalam matematika, definisi sederhana sering menjadi sumber kekuatan besar.

Sebagai contoh, definisi segmen garis

\[ \mathbf{r}(t)=A+t(B-A),\qquad 0\le t\le 1, \]

terlihat ringan. Tetapi dari sini kita belajar tentang vektor perpindahan, parameter, arah, panjang lintasan, dan kelak integral garis. Satu rumus kecil dapat menjadi pintu ke banyak gagasan.

Cara belajar yang disarankan adalah aktif. Saat melihat rumus, coba uji dengan angka. Saat melihat gambar, coba tulis persamaannya. Saat melihat persamaan, coba bayangkan bentuknya. Saat menyelesaikan soal, periksa apakah jawaban masuk akal secara geometris.

Kalkulus multivariabel bukan sekadar kalkulus yang “lebih banyak variabelnya.” Ia adalah perubahan cara melihat: dari garis ke bidang, dari bidang ke ruang, dari satu arah ke banyak arah, dari luas sederhana ke akumulasi di daerah umum, dan dari perhitungan lokal ke hubungan global antara batas dan isi.

Kita mulai dari fondasi paling dekat: ruang berdimensi dua dan tiga.

References

Apostol, Tom M. Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability. 2nd ed. Wiley, 1969.

Marsden, Jerrold E., and Anthony J. Tromba. Vector Calculus. 6th ed. W. H. Freeman, 2012.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.